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2019军转行测备考集合问题的一般解法

2019-03-27 19:23:38     来源:京佳教育

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集合问题的一般解法

  容斥问题一般分为两集合的容斥问题和三集合的容斥问题,这类问题我们一般需要记住几个常用的公式,在做题中,正确选用公式即可:

  两集合容斥原理公式:

  A+B-A∩B=总数-A、B均不满足的个数。

  三集合容斥原理公式:

  A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-A、B、C均不满足的个数。

  A+B+C-b-2c=总数-A、B、C均不满足的个数

  A+B+C=a+2b+3c

  其中a、b、c分别代表满足一个条件的数量、满足两个条件的数量与三个条件均满足的数量。

  【例1】某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有多少人?( )

  A. 57 B. 73 C. 130 D. 69

  【京佳解析】A 集合问题。根据两几何容斥原理公式,A+B-A∩B=总数-A、B均不满足的个数。即68+62-既会骑车又会游泳的人数=85-12,故既会骑车又会游泳的人数为57。故选A。

  【例2】31个学生参加体育课期末考评,学生可以从铅球、1OO米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、1O0米短跑和跳远的人数分别是15人、22人、20人,其中铅球和1OO米短跑参加的有9人,铅球和跳远都参加的有6人,则1OO米短跑和跳远都参加的有几人?( )

  A. 10 B. 12 C. 15 D. 1l

  【京佳解析】D 集合问题。假设100米短跑和跳远都参加的有X人,根据三集合容斥原理的标准型公式A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-A、B、C均不满足的个数。此题中,均不满足的个数为0,由于最多只能选择2项,故选择3个的人数为0。根据公式有:15+22+20-9-6-X=31,解得X=11。故选D。

  【例3】同学们参加周末兴趣小组,每个小组各有50人参加,已知音乐和美术都参加的有20人,体育和美术都参加的有12人,音乐和体育都参加的有15人,问只参加一个兴趣小组的最少有多少人?( )

  A.3人 B.56人 C.92人 D.103人

  【京佳解析】B 极值问题。此类问题是集合类的极值问题,我们需要对集合进行理解,首先每个小组有50人参加,那么3个小组也就是有150人,要使参加一个兴趣小组的人最少,则需要参加2项或者参加3项的人数最多,也就是他们不重复,此题中,也就是参与两项的人中都是恰好参与两项的,那么参与一个兴趣小组的最少有50×3-(15+12+20)×2=56。故选B。

  【例4】某数学竞赛共160人进入决赛,决赛共4题,做对第一题的有136人,做对第二题的有125人,做对第三题的有118人,做对第四题的有104人,在这次决赛中至少有几人得满分?( )

  A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

  【京佳解析】A 极值问题。此类集合类的极值题目,我们需要考虑他们的反面情况。由题可知,第一题没做对的有160-136=24人,第二题没做对的有160-125=35人,第三题没做对的有160-118=42人,第四题没做对的有160-104=56人。因此,四道题全做对的至少有160-(24+35+42+56)=3人,即至少有3人得满分。故选A。

  集合类的题目我们需要多理解,如果不能够明确的分析与想出来,我们不妨进行画图,将数据填入里面,更加直观清晰和明了,以上就是集合类问题的常见解法。

文章关键词: 军转

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