2019军转行测备考集合问题的一般解法

集合问题的一般解法

　　容斥问题一般分为两集合的容斥问题和三集合的容斥问题，这类问题我们一般需要记住几个常用的公式，在做题中，正确选用公式即可：

　　两集合容斥原理公式：

　　A+B-A∩B=总数-A、B均不满足的个数。

　　三集合容斥原理公式：

　　A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-A、B、C均不满足的个数。

　　A+B+C-b-2c=总数-A、B、C均不满足的个数

　　A+B+C=a+2b+3c

　　其中a、b、c分别代表满足一个条件的数量、满足两个条件的数量与三个条件均满足的数量。

　　【例1】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有多少人?( )

　　A. 57 B. 73 C. 130 D. 69

　　【京佳解析】A 集合问题。根据两几何容斥原理公式，A+B-A∩B=总数-A、B均不满足的个数。即68+62-既会骑车又会游泳的人数=85-12，故既会骑车又会游泳的人数为57。故选A。

　　【例2】31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、1OO米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、1O0米短跑和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和1OO米短跑参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则1OO米短跑和跳远都参加的有几人?( )

　　A. 10 B. 12 C. 15 D. 1l

　　【京佳解析】D 集合问题。假设100米短跑和跳远都参加的有X人，根据三集合容斥原理的标准型公式A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-A、B、C均不满足的个数。此题中，均不满足的个数为0，由于最多只能选择2项，故选择3个的人数为0。根据公式有：15+22+20-9-6-X=31，解得X=11。故选D。

　　【例3】同学们参加周末兴趣小组，每个小组各有50人参加，已知音乐和美术都参加的有20人，体育和美术都参加的有12人，音乐和体育都参加的有15人，问只参加一个兴趣小组的最少有多少人?( )

　　A.3人 B.56人 C.92人 D.103人

　　【京佳解析】B 极值问题。此类问题是集合类的极值问题，我们需要对集合进行理解，首先每个小组有50人参加，那么3个小组也就是有150人，要使参加一个兴趣小组的人最少，则需要参加2项或者参加3项的人数最多，也就是他们不重复，此题中，也就是参与两项的人中都是恰好参与两项的，那么参与一个兴趣小组的最少有50×3-(15+12+20)×2=56。故选B。

　　【例4】某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共4题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人，在这次决赛中至少有几人得满分?( )

　　A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

　　【京佳解析】A 极值问题。此类集合类的极值题目，我们需要考虑他们的反面情况。由题可知，第一题没做对的有160-136=24人，第二题没做对的有160-125=35人，第三题没做对的有160-118=42人，第四题没做对的有160-104=56人。因此，四道题全做对的至少有160-(24+35+42+56)=3人，即至少有3人得满分。故选A。

　　集合类的题目我们需要多理解，如果不能够明确的分析与想出来，我们不妨进行画图，将数据填入里面，更加直观清晰和明了，以上就是集合类问题的常见解法。