2017年河南省考备考指导：数学运算中分类讨论的思想（9.15）

　　分类讨论，不仅仅是行测考试当中需要重点掌握的思想之一，也是我们日常生活中的一种常用思想。本文重点介绍分类讨论思想的概念和原则，通过真题分析，以期为广大考生朋友提供备考。

　　一、分类讨论思想的概念

　　分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想，分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

　　二、分类讨论应遵循的重点原则

　　1. 同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据，只能依靠一种分类依据将事物分类；

　　2. 互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，不能有重复的情况。

　　三、分类讨论的步骤

　　用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：

　　1. 先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；

　　2. 正确选择分类的标准，进行合理分类；

　　3. 逐类讨论解决；

　　4. 归纳并作出结论。

　　四、真题举例

　　掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面结合真题，对引起分类讨论的一些常见情况简要分析：

　　1. 根据条件的不确定性分类

　　有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。

　　真题一：甲、乙两人分别从相距30公里的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3公里，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍。甲乙两人的速度差为（    ）公里/小时。

　　A. 1/3              B. 1                C. 2/3              D. 1或1/3

　　【京佳解析】D。路程问题。设甲的速度为每小时x公里/小时，乙的速度为每小时y公里/小时，分情况考虑如下：

　　（1）3小时后，甲、乙两人未相遇，则有：3x＋3y＝30－3，30－5x＝2（30－5y），解得x＝4，y＝5。因此，甲乙两人的速度差为1公里/小时。

　　（2）3小时后，甲、乙两人已相遇，则有：3x＋3y＝30＋3，30－5x＝2（30－5y），解得x＝16/3，y＝17/3。因此，甲乙两人的速度差为1/3公里/小时。

　　综上所示，甲、乙两人的速度差有两种情况，分别为1公里/小时和1/3公里/小时。故选D。

　　2. 排列组合问题常常需要分类

　　真题二：从甲地到乙地含首尾两站共有15个公交站，在这些公交站上共有4条公交线路运行。其中，A公交车线路从第1站到第6站，B公交车线路为第3站到第10站，C公交车线路为第7站到第12站，D公交车线路为第10站到第15站。小张要从甲地到乙地，要在这些公交线路中换乘，不在两站之间步行也不往反方向乘坐，每条公交线路只坐一次，则共有多少种不同的换乘方式？（    ）

　　A. 72               B. 64               C. 52               D. 48

　　【京佳解析】D。排列组合问题。由下图可知，B、C、D三条公交线有相同的站点-第10站，在考虑路线时，可分为A-B-C-D和A-B-D这两种情况。

　　（1）A-B-C-D路线： A-B换乘可以在3、4、5、6站进行，有4种可能；B-C换乘可以在7、8、9或10站进行，如在7、8、9站换乘，则C-D换乘有10、11、12站这3种可能，走完全程的方法有4×3×3＝36种；如在10站换乘，则C-D换乘有11、12站这2种可能，该情况下的方法有4×1×2＝8种；

　　（2）A-B-D路线： A-B换乘同样有4种可能，而B-D换乘只能在10站进行，故该情况下的方法有4×1＝4种。

　　综上所述，所有可能的方式有36＋8＋4＝48种。故选D。

　　分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于我们的逻辑思维能力和综合解题能力，对于培养我们思维的条理性、缜密性、科学性也至关重要。随着考试复杂化的发展，分类讨论思想必然会加大在考查中的分量，也提醒备考中的广大考生平时做好功课，以不变应万变。

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